Es una pregunta muy común y por lo general no se tiene en cuenta que el perro necesita seguir con su hábito de paseo periódico.

Esto es preocupante ya que los perros son animales de costumbres, muy rutinarios con sus horarios, con sus salidas, pero además, necesitan relacionarse con sus congéneres, necesitan ponerse en contacto con los olores que se encuentran en su camino ya que para ellos es un hábito de marcado territorial. No salir a la calle supone un aislamiento, un montón de horas de aburrimiento y posiblemente comience a hacer cosas que no eran habituales.
La lluvia no debería ser ningún problema y menos hoy en día con la cantidad de ropa específica que hay adaptada a cada fisonomía de perro. De cualquier modo al ingresar a la casa se debería secar con una toalla, y en caso de perros de abundante pelaje terminar el sacado con un secador de cabellos.
Quizás los paseos puedan ser más reducidos, quizás no podamos soltarlos porque puedan rebozarse en cualquier charco, pero salir, tienen que salir. Buscar momentos en los que no llueva, o lo haga con menor intensidad, es una alternativa.
Y luego podemos compensar el menor tiempo de salida con juegos interactivos en casa, ya sean comprados, hechos por nosotros o inventados. El caso es que el perro no pase toda una semana de lluvias torrenciales encerrado en casa y sin ningún estímulo mental.